复变函数笔记（四）
时间：2021年9月28日
地点：学院路校区三号楼106
上一节主要讲域、连续、导数、微分等概念。
有了这些概念就引入解析函数。
如果函数在z和z的邻域内处处可导，称为解析。每一点都解析，就称为解析函数。
几种基本的解析函数举例，解析函数的和差积商也是解析函数。解析函数的复合函数也是解析函数。
解析函数的充要条件，柯西-黎曼方程。
复变函数笔记（三）
时间：2021年9月23日
地点：学院路校区三号楼106
这一节课的主要内容是讲域的概念。因为有实部和虚部，跟实变函数相比，复变函数的域的概念稍微复杂一些。
首先定义邻域和去心邻域。
有了邻域的概念，邻域内所有点都属于G是内殿，–每个点都是内点–开集
区域的定义：开集，连通。
区域的边界、边界点
区域的闭区域、有界、无界
光滑曲线、连续曲线、按段光滑曲线。
–单连通域和多连通域。
有了这一概念就可以定义复变函数的连续、导数、微分等概念。
理论力学驻课笔记（八）
日期：2021年10月12日
地点：一号楼
这是国庆节后的第一节课。主要内容是继续上一节课将质点系的平衡。
对于质点系而言，固然用矢量力学的方法的分析是可以解决问题的，但是对于较为复杂的质点系而言，这种方法过于繁复。因此这一节引入虚功和虚位移的概念。通过虚位移原理，可以大大简化问题。这就是工具和方法的力量。
虚位移原理讲的是：具有双边、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充分必要条件是：该质点系所有主动力在质点系的任何虚位移上的虚功之和为0.当然也存在广义坐标形式。
利用虚位移原理可以计算静力学中的主动力的大小。也可以通过解除约束的方法，计算约束力的大小。
举例：
滑块连杆机构在外力作用下的平衡。
两个连杆在外力下的平衡。
两个杆件加上弹簧的平衡。
理论力学驻课笔记（七）
日期：2021年9月30日
地点：一号楼
这是国庆节前最后一节课。对于质点系的平衡如何进行分析？这一节课主要还是从矢量力学的方法进行处理。为了更好地分析问题，引入约束和约束方程。
约束方程按照等式、不等式区分，分为单边约束和双边约束
约束方程按照是否显含时间区分，分为定常约束和非定常约束
约束方程按照速度是否可积区分，分为完整约束和非完整约束。
下一节还将约束按照约束力的虚功之和是否为零，分为理想约束和非理想约束
这里比较难理解的概念是完整约束。将几何约束对时间求导数，可以得到速度约束，这种方法得到的约束是可积的，可以反推回几何约束。但是对于某些在速度层面进行某些限制的约束来说，显含速度不可积，就无法得到几何约束。
在选定广义坐标后，完整约束方程自动隐含在坐标关系中，因此除了求相应的约束力外通常不必在考虑该类约束 。这大大简化了分析问题的难度。
下面引入广义坐标和自由度的概念。确定质点系位置的独立坐标称为该质点系的广义坐标，对应的数目是自由度。这一概念十分重要。自由度=质点系位形坐标的数目-约束方程的个数
理论力学驻课笔记（六）
日期：2021年9月28日
地点：一号楼
从这一节开始将刚体系和结构的平衡，也就是课本上第三章的内容。
按照自由度是否为0可以将问题分为：静不定（小于0），静定（0）以及机构问题（大于0）。前两者叫做结构，后者叫做机构。
引入刚化原理：即平衡时，可将结构简化成刚体处理。
两个例子：盒子里面的球以及人通过结构在台子上保持平衡，如何进行受力分析。
桁架问题三个假设：
- 光滑铰链连接。
- 轴线是直线，通过铰链中心。
- 所有外力作用在节点。
两个方法进行分析：1、节点法；2、截面法。
如何分析出零力杆（利用二力杆）。拉张结构。
理论力学驻课笔记（五）
日期：2021年9月23日
地点：一号楼
这节课主要讲的是摩擦。
摩擦分为滑动摩擦（静摩擦、动摩擦）和滚动摩擦 （还有滚压摩擦和转动摩擦，理论力学教材中不与介绍）
引入摩擦系数的概念。
对于静摩擦力而言 F<= F_max = f FN
对于动摩擦力而言 F = -f FN sgn（v）
随后引入Coulomb摩擦力的一般表达形式。库仑摩擦力的特点是，摩擦力跟正压力成正比，跟接触面积没有关系。库伦摩擦力的定律：
- 库仑摩擦第一定律：摩擦力跟作用在摩擦面上的正压力成正比，跟外表的接触面积无关。这实际上就是阿蒙顿定律，也就是所谓的静摩擦定律和滑动摩擦定律。
- 库仑摩擦第二定律：滑动摩擦力和滑动速度大小无关。这一结论，若作为普遍法则是不正确的，实际上滑动摩擦力和滑动速度的关系是相当复杂的。
- 库仑摩擦第三定律：最大静摩擦大于滑动摩擦力，即f静>f滑
- 库仑二项式定律：这是反映摩擦力和负载之间的关系，即滑动摩擦力f滑=μN+A
f的影响因素有材质、温度、湿度。摩擦生热是否能被利用？
举例分析各种摩擦：斜面物块、楔形斜面重物。–>自锁现象
皮带轮的摩擦：相对速度以及摩擦力方向的判断
梯子的摩擦：摩擦自锁的应用。
滚动摩阻：滚动摩阻的力偶，对应滚动摩阻系数 M = delta FN。
摩擦力是非保守力，在理论力学里面对摩擦力进行分析的时候，需要特别注意。
科研课堂（三）——Monte Carlo 算法
科研课堂第三节slides
随着计算机技术的发展，一种可以模拟随机变量与随机过程的方法——蒙特卡洛算法应运而生。与解析解或者近似解相比，Monte Carlo（MC）算法无需复杂的数学推导，实现起来也较为简单。
蒙特卡洛法其实是比较宽泛的一系列算法的统称，它的特点是假设概率分布已知，通过重复的随机采样来获得数值结果。比如根据大数定理，我们可以用采样得到的样本计算得到的样本均值来估计总体期望。又比如，积分的运算往往可以表示为随机变量在一个概率密度函数分布上的期望。
针对Ising模型，往往采用为马尔可夫链蒙特卡洛算法（MCMC）。此种方法具体为随机变量 x 的状态空间 S 上定义一个满足遍历定理的马尔科夫链 X = X1, X2, X3… ，使其平稳分布就是抽样的目标分布 p(x)。然后在这个马尔科夫链上进行随机游走，每个时刻得到一个样本。根据遍历定理，当时间趋向于无穷时，样本的分布趋近于平稳分布，样本的函数均值趋近函数的数学期望。关键就是设计这样一个马尔科夫链。
对于Ising模型，我们每一次随机选取一个格点，计算发生反转前后的能量差，如果能量降低，则使其翻转，如果能量升高，则依概率（\(P = \exp^(-\beta \Delta E)\)）翻转。我们可以证明，按照此概率进行演进，系统达到平衡后的状态按照玻尔兹曼函数依能量分布，此过程也符合可逆过程的时间反演对称，即细致平衡原理。
我们可以通过简单的python代码实现用MCMC算法模拟Ising模型中，格点随温度、外加磁场的变化、并且做出相图。
以上蒙特卡洛算法是一种对离散问题的有效解决方案。但是物理上许多常见的相变问题，需采用连续介质假设。否则相对于模拟，问题本身的尺度过大，计算量过于庞大。相场模型（或者time-dependent Ginzburg-Landau模型）是解决连续介质假设下相变问题的有效途径。而该方程的阶数较高，数值实现起来需要一定的技巧。目前常见的方法是FFT-FDM，以及FEM。这将在下一讲中进行简要介绍。
扩展阅读
python skilearn的monte-carlo实现求定积分的库：
https://scikit-monaco.readthedocs.io/en/latest/
一种简单的马尔可夫链——随机行走
https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
蒙特卡罗方法与机器学习的一个例子：
复变函数笔记（二）
时间：2021年9月16日
地点：学院路校区三号楼106
授课教师：赵寿根
内容：复变函数第二节课
这一节课继续讲复数的性质。
其实复数可定义为实数（a,b）成的有序对。在这个域中定义了加法和乘法满足：
- 加法交换率
- 加法结合率
- 乘法交换率
- 乘法结合率
- 乘法对加法的分配率
- 0元素
- 1元素
因此可以看成一个二维实线性空间。如果定义了模，就构成了一个赋范线性空间。但是需要注意这个空间中的元素是无法定义全序的，因此无法比较大小。
紧接着引入了共轭的概念、共轭的运算性质。
复数的表示方法：极坐标、笛卡儿坐标、向量表示、欧拉公式。
最后引入复变函数的概念：单点、多重点、重数、边界点、边界、闭区域、单连通区域等等。这对于学习解析函数是十分重要的概念。
理论力学驻课笔记（四）
日期：2021年9月17日
地点：一号楼
这一节课是刚体平衡这一章的收尾。
上节课引入了力偶、主矢。这一节课提出了一个更为一般的问题，即空间一般力系简化到最后，究竟可以简化成什么形式？\(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2, \mathbf{F}_3… = ?\):
- F=0; M=0 平衡力系
- F!=0; M=0 合力
- F=0; M!=0 力偶
- F!0; M!=0 这时候分两种情况：\(F \perp M\) 可简化为合力，如果不垂直，平行的部分无法与力合并，最终简化为力螺旋。
由此，力系的平衡条件：
| F | M | ||
| 空间一般力系 | 3 | 3 | |
| 空间共点力系 | 3 | 0 | |
| 空间平行力系 | 1 | 2 | |
| 平面一般力系 | 2 | 1 | 或者1+2 0+3二矩式三矩式 |
| 平面平行力系 | 1 | 1 |
以上的选取并不是唯一的，可以由矩的平衡代替力的平衡，但是要满足一定的空间关系：线性无关。
随后举了很多直升机的例子。问题：四轴旋翼机相邻的电机是否可以朝着相同方向旋转？我的理解：可以，但是不稳定。一旦倾斜，无法向间隔式的螺旋桨那样仍然矩平衡。
两个连杆的受力分析：如何用一个方程解一个未知量。
三维结构的受理分析：例子 取合适的轴取矩或者对某一点取矩
固支结构的受力分析：与材料力学内容相结合。