Category Archives: 理论力学笔记

日期：2021年10月12日 地点：一号楼 这是国庆节后的第一节课。主要内容是继续上一节课将质点系的平衡。 对于质点系而言，固然用矢量力学的方法的分析是可以解决问题的，但是对于较为复杂的质点系而言，这种方法过于繁复。因此这一节引入虚功和虚位移的概念。通过虚位移原理，可以大大简化问题。这就是工具和方法的力量。 虚位移原理讲的是：具有双边、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充分必要条件是：该质点系所有主动力在质点系的任何虚位移上的虚功之和为0.当然也存在广义坐标形式。 利用虚位移原理可以计算静力学中的主动力的大小。也可以通过解除约束的方法，计算约束力的大小。 举例： 滑块连杆机构在外力作用下的平衡。 两个连杆在外力下的平衡。 两个杆件加上弹簧的平衡。 阅读数: 952

日期：2021年9月30日 地点：一号楼 这是国庆节前最后一节课。对于质点系的平衡如何进行分析？这一节课主要还是从矢量力学的方法进行处理。为了更好地分析问题，引入约束和约束方程。 约束方程按照等式、不等式区分，分为单边约束和双边约束 约束方程按照是否显含时间区分，分为定常约束和非定常约束 约束方程按照速度是否可积区分，分为完整约束和非完整约束。 下一节还将约束按照约束力的虚功之和是否为零，分为理想约束和非理想约束 这里比较难理解的概念是完整约束。将几何约束对时间求导数，可以得到速度约束，这种方法得到的约束是可积的，可以反推回几何约束。但是对于某些在速度层面进行某些限制的约束来说，显含速度不可积，就无法得到几何约束。 在选定广义坐标后，完整约束方程自动隐含在坐标关系中，因此除了求相应的约束力外通常不必在考虑该类约束 。这大大简化了分析问题的难度。 下面引入广义坐标和自由度的概念。确定质点系位置的独立坐标称为该质点系的广义坐标，对应的数目是自由度。这一概念十分重要。自由度=质点系位形坐标的数目-约束方程的个数 阅读数: 982

日期：2021年9月28日 地点：一号楼 从这一节开始将刚体系和结构的平衡，也就是课本上第三章的内容。 按照自由度是否为0可以将问题分为：静不定（小于0），静定（0）以及机构问题（大于0）。前两者叫做结构，后者叫做机构。 引入刚化原理：即平衡时，可将结构简化成刚体处理。 两个例子：盒子里面的球以及人通过结构在台子上保持平衡，如何进行受力分析。 桁架问题三个假设： 光滑铰链连接。 轴线是直线，通过铰链中心。 所有外力作用在节点。 两个方法进行分析：1、节点法；2、截面法。 如何分析出零力杆（利用二力杆）。拉张结构。 阅读数: 907

日期：2021年9月23日 地点：一号楼 这节课主要讲的是摩擦。 摩擦分为滑动摩擦（静摩擦、动摩擦）和滚动摩擦 （还有滚压摩擦和转动摩擦，理论力学教材中不与介绍） 引入摩擦系数的概念。 对于静摩擦力而言 F<= F_max = f FN 对于动摩擦力而言 F = -f FN sgn（v） 随后引入Coulomb摩擦力的一般表达形式。库仑摩擦力的特点是，摩擦力跟正压力成正比，跟接触面积没有关系。库伦摩擦力的定律： 库仑摩擦第一定律：摩擦力跟作用在摩擦面上的正压力成正比，跟外表的接触面积无关。这实际上就是阿蒙顿定律，也就是所谓的静摩擦定律和滑动摩擦定律。 库仑摩擦第二定律：滑动摩擦力和滑动速度大小无关。这一结论，若作为普遍法则是不正确的，实际上滑动摩擦力和滑动速度的关系是相当复杂的。 库仑摩擦第三定律：最大静摩擦大于滑动摩擦力，即f静>f滑 库仑二项式定律：这是反映摩擦力和负载之间的关系，即滑动摩擦力f滑=μN+A f的影响因素有材质、温度、湿度。摩擦生热是否能被利用？ 举例分析各种摩擦：斜面物块、楔形斜面重物。–>自锁现象 皮带轮的摩擦：相对速度以及摩擦力方向的判断 梯子的摩擦：摩擦自锁的应用。 滚动摩阻：滚动摩阻的力偶，对应滚动摩阻系数 M = delta FN。 摩擦力是非保守力，在理论力学里面对摩擦力进行分析的时候，需要特别注意。 阅读数: 1,018

日期：2021年9月17日 地点：一号楼 这一节课是刚体平衡这一章的收尾。 上节课引入了力偶、主矢。这一节课提出了一个更为一般的问题，即空间一般力系简化到最后，究竟可以简化成什么形式？\(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2, \mathbf{F}_3… = ?\): F=0; M=0 平衡力系 F!=0; M=0 合力 F=0; M!=0 力偶 F!0; M!=0 这时候分两种情况：\(F \perp M\) 可简化为合力，如果不垂直，平行的部分无法与力合并，最终简化为力螺旋。 由此，力系的平衡条件： F M 空间一般力系 3 3 空间共点力系 3 0 空间平行力系 1 2 平面一般力系 2 1 或者1+2 0+3二矩式三矩式 平面平行力系 1 1 力系对应的平衡方程的个数 以上的选取并不是唯一的，可以由矩的平衡代替力的平衡，但是要满足一定的空间关系：线性无关。 随后举了很多直升机的例子。问题：四轴旋翼机相邻的电机是否可以朝着相同方向旋转？我的理解：可以，但是不稳定。一旦倾斜，无法向间隔式的螺旋桨那样仍然矩平衡。 两个连杆的受力分析：如何用一个方程解一个未知量。 三维结构的受理分析：例子 取合适的轴取矩或者对某一点取矩 固支结构的受力分析：与材料力学内容相结合。 阅读数: 1,010

日期：2021年9月14日 地点：一号楼 这节课进入第二章——刚体的平衡。 主要概念： 力偶，力对点的矩矢、力对轴的矩。其中在课本上我们注意到力对点的 矩矢 是矢量，用粗体表示，而力对轴的矩是带有正负的标量。后面我们注意，力对轴的矩，其实是力对点的矩矢在某一个方向上的投影。 问题的引入：从直升机的螺旋桨引入矩的概念。对于质点而言，力的作用点在质点上，因此是共点力系。而对于刚体而言，由于考虑到形状，力的作用点可以在不同的位置，因此不一定是共点力系。这时候就需要引入矩（moment）这一概念。矩在物理中是一个十分重要的概念。一般来说当一个物理量的作用效果与空间位置相关，就需要一个将空间包含的的物理量表示。将物理量位置矢量与物理量的乘积（product）作为矩。 例如：电学中，将电荷（\(q\)）与电荷位置矢量（\(\mathbf{r}\)）的乘积叫做电偶极矩。对于点电荷和多个独立的点电荷组成的集合而言，电偶极矩 \( \mathbf{P} =q\mathbf{r}\)。对于一个电荷密度分布为 \(\rho(\mathbf{r})\)）而言，电偶极矩为体积分 \( \mathbf{P} =\int_v \rho(\mathbf{r}) \mathbf(r)/ d \text{v}\) ,是一个矢量。同时还存在高阶矩，如四极子（quadrapole） \( \mathbf{P} =\int_v \rho(\mathbf{r}) \otimes \mathbf(r) \mathbf(r)/ d \text{v}\) 为一个二阶张量。 力学中，位置与力的叉积也是一个矢量，被称为力矩（moment 或torque）。理论力学中，密度分布的零阶矩是质量大小，一阶矩刻画质心，二阶矩是转动惯量（moment of inertia,或者叫质量惯性矩）注意这里\(\\mathbf{r}^2\)取矢量点积。材料力学中对于某一截面可以对某一个轴取矩，叫做面积二次轴矩（second axial moment of area），又称面积惯性矩，或面积对某一轴的惯性矩。 动量对某一点取矩，叫做角动量（angular momentum）\(\mathbf{L}\times\mathbf{r}\)，这里是叉积。 随后一个重要的概念是力对点的矩矢和力对轴的矩两者之间的关系，以及和坐标投影的关系。 为研究刚体的受力特点，引入一种特殊的力系：力偶。力偶对应的矩矢与参考点、或者说说坐标的选取无关。因此力偶可以一一对应一个力偶矩矢，而且这个力偶矩矢是一个自由矢量。力偶具有的性质： 不能与力等效，力的矩矢与参考点相关，因此无法等效 力偶可以在作用面随意转移或者移到平行平面，这是利用了力偶矩矢是自由矢量的特点 保持力*力臂乘积不变，作用效果不变。此即表示力偶矩矢的模不变，效果不变 为了方便对作用在刚体上的力进行简化和合并，引入加减平衡原理（在原有力系基础上加上一组共轴反向力是等效力系）。最后可以推导出空间任意力系可以简化为主矢加主矩。主矢大小方向与简化中心无关，主矩大小与简化中心的选择有关。 我的思考： （1）作用在刚体上的力，如果作用效果已知，需要几个未知量来确定这个力？或者说刚体上力的自由度是几？三维空间中的力，唯一的确定他需要6个参数：\((\mathbf{F},\mathbf{r})\)。 （2）力对轴的矩，是否可以选取与轴无关的任意坐标轴，写出解析表达式？ 阅读数: 1,092

时间：2021年9月9日 地点：学院路校区一号楼206 内容：理论力学第二次课，主要讲述平衡问题的解法 第一部分讲约束和约束力。 什么是约束—> 引入自由体和非自由体的概念。 约束力：约束作用于非自由体的力。其他的力统称为主动力。约束力的特点是：约束力方向与限制运动的方向相反。 我的思考：约束的概念在拉格朗日力学里是核心概念。约束减少了了体系的自由度。约束可以用自由度作为变量的等式（完全约束）或者不等式（非完全）约束来表示。对于完全约束，对于求解的问题而言，可以作为拉格朗日乘子引入。 在工程中，我们会遇到各种各样的约束。这里介绍了最常见的集中约束，并介绍了他们的特点： 柔索：只能承受拉力，方向沿着柔索，背离物体。 光滑面约束：切线上自由。约束力方向在公切线 光滑圆柱铰链约束：有销钉。分为固定铰支座（二维1自由度）连接铰链（二维1自由度，链接两个物体），径向轴承（限制垂直于轴承的面方向的位移），活动铰链（水平无约束）。 光滑球铰链。我的思考：被光滑球铰连约束的物体，只能绕着一点进行三维旋转，只有两个自由度。 二力构件：根据二力平衡条件，二力构件收力所在直线已定 受力分析实例。举了三个例子，在课件上有。注意： 整体法，对整个物体进行受力分析，忽略内部相互作用 利用作用力-反作用力大小相等方向相反 合理利用几何法 投影法（或解析法）需要选取合适的坐标系 我的思考：最后的例子，用正余弦定理也挺方便。 阅读数: 888