时间：2021年9月28日 地点：学院路校区三号楼106 上一节主要讲域、连续、导数、微分等概念。 有了这些概念就引入解析函数。 如果函数在z和z的邻域内处处可导，称为解析。每一点都解析，就称为解析函数。 几种基本的解析函数举例，解析函数的和差积商也是解析函数。解析函数的复合函数也是解析函数。 解析函数的充要条件，柯西-黎曼方程。 阅读数: 885
Category Archives: 教学
复变函数笔记（三）
时间：2021年9月23日 地点：学院路校区三号楼106 这一节课的主要内容是讲域的概念。因为有实部和虚部，跟实变函数相比，复变函数的域的概念稍微复杂一些。 首先定义邻域和去心邻域。 有了邻域的概念，邻域内所有点都属于G是内殿，–每个点都是内点–开集 区域的定义：开集，连通。 区域的边界、边界点 区域的闭区域、有界、无界 光滑曲线、连续曲线、按段光滑曲线。 –单连通域和多连通域。 有了这一概念就可以定义复变函数的连续、导数、微分等概念。 阅读数: 875
理论力学驻课笔记（八）
日期：2021年10月12日 地点：一号楼 这是国庆节后的第一节课。主要内容是继续上一节课将质点系的平衡。 对于质点系而言，固然用矢量力学的方法的分析是可以解决问题的，但是对于较为复杂的质点系而言，这种方法过于繁复。因此这一节引入虚功和虚位移的概念。通过虚位移原理，可以大大简化问题。这就是工具和方法的力量。 虚位移原理讲的是：具有双边、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充分必要条件是：该质点系所有主动力在质点系的任何虚位移上的虚功之和为0.当然也存在广义坐标形式。 利用虚位移原理可以计算静力学中的主动力的大小。也可以通过解除约束的方法，计算约束力的大小。 举例： 滑块连杆机构在外力作用下的平衡。 两个连杆在外力下的平衡。 两个杆件加上弹簧的平衡。 阅读数: 953
理论力学驻课笔记（七）
日期：2021年9月30日 地点：一号楼 这是国庆节前最后一节课。对于质点系的平衡如何进行分析？这一节课主要还是从矢量力学的方法进行处理。为了更好地分析问题，引入约束和约束方程。 约束方程按照等式、不等式区分，分为单边约束和双边约束 约束方程按照是否显含时间区分，分为定常约束和非定常约束 约束方程按照速度是否可积区分，分为完整约束和非完整约束。 下一节还将约束按照约束力的虚功之和是否为零，分为理想约束和非理想约束 这里比较难理解的概念是完整约束。将几何约束对时间求导数，可以得到速度约束，这种方法得到的约束是可积的，可以反推回几何约束。但是对于某些在速度层面进行某些限制的约束来说，显含速度不可积，就无法得到几何约束。 在选定广义坐标后，完整约束方程自动隐含在坐标关系中，因此除了求相应的约束力外通常不必在考虑该类约束 。这大大简化了分析问题的难度。 下面引入广义坐标和自由度的概念。确定质点系位置的独立坐标称为该质点系的广义坐标，对应的数目是自由度。这一概念十分重要。自由度=质点系位形坐标的数目-约束方程的个数 阅读数: 983
理论力学驻课笔记（六）
日期：2021年9月28日 地点：一号楼 从这一节开始将刚体系和结构的平衡，也就是课本上第三章的内容。 按照自由度是否为0可以将问题分为：静不定（小于0），静定（0）以及机构问题（大于0）。前两者叫做结构，后者叫做机构。 引入刚化原理：即平衡时，可将结构简化成刚体处理。 两个例子：盒子里面的球以及人通过结构在台子上保持平衡，如何进行受力分析。 桁架问题三个假设： 光滑铰链连接。 轴线是直线，通过铰链中心。 所有外力作用在节点。 两个方法进行分析：1、节点法；2、截面法。 如何分析出零力杆（利用二力杆）。拉张结构。 阅读数: 908
理论力学驻课笔记（五）
日期：2021年9月23日 地点：一号楼 这节课主要讲的是摩擦。 摩擦分为滑动摩擦（静摩擦、动摩擦）和滚动摩擦 （还有滚压摩擦和转动摩擦，理论力学教材中不与介绍） 引入摩擦系数的概念。 对于静摩擦力而言 F<= F_max = f FN 对于动摩擦力而言 F = -f FN sgn（v） 随后引入Coulomb摩擦力的一般表达形式。库仑摩擦力的特点是，摩擦力跟正压力成正比，跟接触面积没有关系。库伦摩擦力的定律： 库仑摩擦第一定律：摩擦力跟作用在摩擦面上的正压力成正比，跟外表的接触面积无关。这实际上就是阿蒙顿定律，也就是所谓的静摩擦定律和滑动摩擦定律。 库仑摩擦第二定律：滑动摩擦力和滑动速度大小无关。这一结论，若作为普遍法则是不正确的，实际上滑动摩擦力和滑动速度的关系是相当复杂的。 库仑摩擦第三定律：最大静摩擦大于滑动摩擦力，即f静>f滑 库仑二项式定律：这是反映摩擦力和负载之间的关系，即滑动摩擦力f滑=μN+A f的影响因素有材质、温度、湿度。摩擦生热是否能被利用？ 举例分析各种摩擦：斜面物块、楔形斜面重物。–>自锁现象 皮带轮的摩擦：相对速度以及摩擦力方向的判断 梯子的摩擦：摩擦自锁的应用。 滚动摩阻：滚动摩阻的力偶，对应滚动摩阻系数 M = delta FN。 摩擦力是非保守力，在理论力学里面对摩擦力进行分析的时候，需要特别注意。 阅读数: 1,019
科研课堂（三）——Monte Carlo 算法
随着计算机技术的发展，一种可以模拟随机变量与随机过程的方法——蒙特卡洛算法应运而生。与解析解或者近似解相比，Monte Carlo（MC）算法无需复杂的数学推导，实现起来也较为简单。 蒙特卡洛法其实是比较宽泛的一系列算法的统称，它的特点是假设概率分布已知，通过重复的随机采样来获得数值结果。比如根据大数定理，我们可以用采样得到的样本计算得到的样本均值来估计总体期望。又比如，积分的运算往往可以表示为随机变量在一个概率密度函数分布上的期望。 针对Ising模型，往往采用为马尔可夫链蒙特卡洛算法（MCMC）。此种方法具体为随机变量 x 的状态空间 S 上定义一个满足遍历定理的马尔科夫链 X = X1, X2, X3… ，使其平稳分布就是抽样的目标分布 p(x)。然后在这个马尔科夫链上进行随机游走，每个时刻得到一个样本。根据遍历定理，当时间趋向于无穷时，样本的分布趋近于平稳分布，样本的函数均值趋近函数的数学期望。关键就是设计这样一个马尔科夫链。 对于Ising模型，我们每一次随机选取一个格点，计算发生反转前后的能量差，如果能量降低，则使其翻转，如果能量升高，则依概率（\(P = \exp^(-\beta \Delta E)\)）翻转。我们可以证明，按照此概率进行演进，系统达到平衡后的状态按照玻尔兹曼函数依能量分布，此过程也符合可逆过程的时间反演对称，即细致平衡原理。 我们可以通过简单的python代码实现用MCMC算法模拟Ising模型中，格点随温度、外加磁场的变化、并且做出相图。 以上蒙特卡洛算法是一种对离散问题的有效解决方案。但是物理上许多常见的相变问题，需采用连续介质假设。否则相对于模拟，问题本身的尺度过大，计算量过于庞大。相场模型（或者time-dependent Ginzburg-Landau模型）是解决连续介质假设下相变问题的有效途径。而该方程的阶数较高，数值实现起来需要一定的技巧。目前常见的方法是FFT-FDM，以及FEM。这将在下一讲中进行简要介绍。 扩展阅读 python skilearn的monte-carlo实现求定积分的库： https://scikit-monaco.readthedocs.io/en/latest/ 一种简单的马尔可夫链——随机行走 https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk 蒙特卡罗方法与机器学习的一个例子： https://www.deeplearningbook.org/contents/monte_carlo.html 阅读数: 1,267
理论力学驻课笔记（四）
日期：2021年9月17日 地点：一号楼 这一节课是刚体平衡这一章的收尾。 上节课引入了力偶、主矢。这一节课提出了一个更为一般的问题，即空间一般力系简化到最后，究竟可以简化成什么形式？\(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2, \mathbf{F}_3… = ?\): F=0; M=0 平衡力系 F!=0; M=0 合力 F=0; M!=0 力偶 F!0; M!=0 这时候分两种情况：\(F \perp M\) 可简化为合力，如果不垂直，平行的部分无法与力合并，最终简化为力螺旋。 由此，力系的平衡条件： F M 空间一般力系 3 3 空间共点力系 3 0 空间平行力系 1 2 平面一般力系 2 1 或者1+2 0+3二矩式三矩式 平面平行力系 1 1 力系对应的平衡方程的个数 以上的选取并不是唯一的，可以由矩的平衡代替力的平衡，但是要满足一定的空间关系：线性无关。 随后举了很多直升机的例子。问题：四轴旋翼机相邻的电机是否可以朝着相同方向旋转？我的理解：可以，但是不稳定。一旦倾斜，无法向间隔式的螺旋桨那样仍然矩平衡。 两个连杆的受力分析：如何用一个方程解一个未知量。 三维结构的受理分析：例子 取合适的轴取矩或者对某一点取矩 固支结构的受力分析：与材料力学内容相结合。 阅读数: 1,010
科研课堂（二）——平均场近似和Ising模型
第一节课主要是叙述了“相”的概念以及两种不同的相边界模型（diffusive interface vs sharp interface）。第二节课的主题是相变（phase transition）。 相变是一个非平衡过程，描述起来比平衡过程要复杂。我们从最简单的Ising模型入手，对相变进行刻画。虽然数学模型较为简单，但是好处是可以定性地分析系统的特征温度、相变时对应的宏观物理量的变化。是研究复杂相变过程的基础。 Ising 模型最主要的假设有两个： 状态只有两种 +1 -1 （更为复杂的情况，状态可以描述为矢量等连续变化的量、甚至可以描述为波函数） 假设粒子只与最近的粒子发生相互作用（即只存在近场相互作用，无长程作用） 基于这两点出发，可以给出自旋粒子的哈密顿量。从哈密顿量出发、结合Gibbs概率密度分布（概率依能量指数分配），可推倒出粒子自旋量的概率测度（tanh分布，slide-12）。得到自旋的概率分布，就可以推出一系列的宏观物理量。如net magnetization、能量、磁滞回线等。 因此问题的核心就在于如何解出自旋的概率分布？平均场近似假设：每个粒子所受到的外界作用（课堂上的例子是外界磁场作用）是周围所有粒子的平均。因此在公式（5）中，可以将\(q_i\)用\(<q>\)代替。经过这种方法处理，方程大为简化（不需要考虑周围粒子的反转等瞬态过程）由平均场近似可以得出一系列很好的结果： 相变温度Tc 相变磁场Hc 磁滞回线 区分一级相变二级相变 \(<q> ~ (T_c-T)^{0.5}\) 平均场近似是不精确的。Onsager给出了二维Ising模型的解析接，序参量的critical exponent值不是0.5，而是0.125 。[1] 给同学们留下的作业是 1、回去动手算一下\(\tanh (Ax+b) = x\)的解。我用的是直接迭代。如果用牛顿迭代是不是收敛性更好？可否用程序证明？ 2、算一下\(T^* = 0\) 和\(T^* > 0)时候的磁滞回线，看一下与低温时候有何区别？ 资料： python环境管理包：anaconda: https://www.anaconda.com/ python的IDE：spyder 可以在anaconda中下载 有用的包： 自行搜索手册、可用anaconda安装或者用pip安装 基本数学工具和数组：numpy 科学计算、求解方程： scipy （部分替代mathematica） 数据表： pandas （可替代excel） 绘图：matplotlib （可替代origin） 参考文献 …
理论力学驻课笔记（三）
日期：2021年9月14日 地点：一号楼 这节课进入第二章——刚体的平衡。 主要概念： 力偶，力对点的矩矢、力对轴的矩。其中在课本上我们注意到力对点的 矩矢 是矢量，用粗体表示，而力对轴的矩是带有正负的标量。后面我们注意，力对轴的矩，其实是力对点的矩矢在某一个方向上的投影。 问题的引入：从直升机的螺旋桨引入矩的概念。对于质点而言，力的作用点在质点上，因此是共点力系。而对于刚体而言，由于考虑到形状，力的作用点可以在不同的位置，因此不一定是共点力系。这时候就需要引入矩（moment）这一概念。矩在物理中是一个十分重要的概念。一般来说当一个物理量的作用效果与空间位置相关，就需要一个将空间包含的的物理量表示。将物理量位置矢量与物理量的乘积（product）作为矩。 例如：电学中，将电荷（\(q\)）与电荷位置矢量（\(\mathbf{r}\)）的乘积叫做电偶极矩。对于点电荷和多个独立的点电荷组成的集合而言，电偶极矩 \( \mathbf{P} =q\mathbf{r}\)。对于一个电荷密度分布为 \(\rho(\mathbf{r})\)）而言，电偶极矩为体积分 \( \mathbf{P} =\int_v \rho(\mathbf{r}) \mathbf(r)/ d \text{v}\) ,是一个矢量。同时还存在高阶矩，如四极子（quadrapole） \( \mathbf{P} =\int_v \rho(\mathbf{r}) \otimes \mathbf(r) \mathbf(r)/ d \text{v}\) 为一个二阶张量。 力学中，位置与力的叉积也是一个矢量，被称为力矩（moment 或torque）。理论力学中，密度分布的零阶矩是质量大小，一阶矩刻画质心，二阶矩是转动惯量（moment of inertia,或者叫质量惯性矩）注意这里\(\\mathbf{r}^2\)取矢量点积。材料力学中对于某一截面可以对某一个轴取矩，叫做面积二次轴矩（second axial moment of area），又称面积惯性矩，或面积对某一轴的惯性矩。 动量对某一点取矩，叫做角动量（angular momentum）\(\mathbf{L}\times\mathbf{r}\)，这里是叉积。 随后一个重要的概念是力对点的矩矢和力对轴的矩两者之间的关系，以及和坐标投影的关系。 为研究刚体的受力特点，引入一种特殊的力系：力偶。力偶对应的矩矢与参考点、或者说说坐标的选取无关。因此力偶可以一一对应一个力偶矩矢，而且这个力偶矩矢是一个自由矢量。力偶具有的性质： 不能与力等效，力的矩矢与参考点相关，因此无法等效 力偶可以在作用面随意转移或者移到平行平面，这是利用了力偶矩矢是自由矢量的特点 保持力*力臂乘积不变，作用效果不变。此即表示力偶矩矢的模不变，效果不变 为了方便对作用在刚体上的力进行简化和合并，引入加减平衡原理（在原有力系基础上加上一组共轴反向力是等效力系）。最后可以推导出空间任意力系可以简化为主矢加主矩。主矢大小方向与简化中心无关，主矩大小与简化中心的选择有关。 我的思考： （1）作用在刚体上的力，如果作用效果已知，需要几个未知量来确定这个力？或者说刚体上力的自由度是几？三维空间中的力，唯一的确定他需要6个参数：\((\mathbf{F},\mathbf{r})\)。 （2）力对轴的矩，是否可以选取与轴无关的任意坐标轴，写出解析表达式？ 阅读数: 1,093