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随着计算机技术的发展，一种可以模拟随机变量与随机过程的方法——蒙特卡洛算法应运而生。与解析解或者近似解相比，Monte Carlo（MC）算法无需复杂的数学推导，实现起来也较为简单。 蒙特卡洛法其实是比较宽泛的一系列算法的统称，它的特点是假设概率分布已知，通过重复的随机采样来获得数值结果。比如根据大数定理，我们可以用采样得到的样本计算得到的样本均值来估计总体期望。又比如，积分的运算往往可以表示为随机变量在一个概率密度函数分布上的期望。 针对Ising模型，往往采用为马尔可夫链蒙特卡洛算法（MCMC）。此种方法具体为随机变量 x 的状态空间 S 上定义一个满足遍历定理的马尔科夫链 X = X1, X2, X3… ，使其平稳分布就是抽样的目标分布 p(x)。然后在这个马尔科夫链上进行随机游走，每个时刻得到一个样本。根据遍历定理，当时间趋向于无穷时，样本的分布趋近于平稳分布，样本的函数均值趋近函数的数学期望。关键就是设计这样一个马尔科夫链。 对于Ising模型，我们每一次随机选取一个格点，计算发生反转前后的能量差，如果能量降低，则使其翻转，如果能量升高，则依概率（\(P = \exp^(-\beta \Delta E)\)）翻转。我们可以证明，按照此概率进行演进，系统达到平衡后的状态按照玻尔兹曼函数依能量分布，此过程也符合可逆过程的时间反演对称，即细致平衡原理。 我们可以通过简单的python代码实现用MCMC算法模拟Ising模型中，格点随温度、外加磁场的变化、并且做出相图。 以上蒙特卡洛算法是一种对离散问题的有效解决方案。但是物理上许多常见的相变问题，需采用连续介质假设。否则相对于模拟，问题本身的尺度过大，计算量过于庞大。相场模型（或者time-dependent Ginzburg-Landau模型）是解决连续介质假设下相变问题的有效途径。而该方程的阶数较高，数值实现起来需要一定的技巧。目前常见的方法是FFT-FDM，以及FEM。这将在下一讲中进行简要介绍。 扩展阅读 python skilearn的monte-carlo实现求定积分的库： https://scikit-monaco.readthedocs.io/en/latest/ 一种简单的马尔可夫链——随机行走 https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk 蒙特卡罗方法与机器学习的一个例子： https://www.deeplearningbook.org/contents/monte_carlo.html 阅读数: 1,267

第一节课主要是叙述了“相”的概念以及两种不同的相边界模型（diffusive interface vs sharp interface）。第二节课的主题是相变（phase transition）。 相变是一个非平衡过程，描述起来比平衡过程要复杂。我们从最简单的Ising模型入手，对相变进行刻画。虽然数学模型较为简单，但是好处是可以定性地分析系统的特征温度、相变时对应的宏观物理量的变化。是研究复杂相变过程的基础。 Ising 模型最主要的假设有两个： 状态只有两种 +1 -1 （更为复杂的情况，状态可以描述为矢量等连续变化的量、甚至可以描述为波函数） 假设粒子只与最近的粒子发生相互作用（即只存在近场相互作用，无长程作用） 基于这两点出发，可以给出自旋粒子的哈密顿量。从哈密顿量出发、结合Gibbs概率密度分布（概率依能量指数分配），可推倒出粒子自旋量的概率测度（tanh分布，slide-12）。得到自旋的概率分布，就可以推出一系列的宏观物理量。如net magnetization、能量、磁滞回线等。 因此问题的核心就在于如何解出自旋的概率分布？平均场近似假设：每个粒子所受到的外界作用（课堂上的例子是外界磁场作用）是周围所有粒子的平均。因此在公式（5）中，可以将\(q_i\)用\(<q>\)代替。经过这种方法处理，方程大为简化（不需要考虑周围粒子的反转等瞬态过程）由平均场近似可以得出一系列很好的结果： 相变温度Tc 相变磁场Hc 磁滞回线 区分一级相变二级相变 \(<q> ~ (T_c-T)^{0.5}\) 平均场近似是不精确的。Onsager给出了二维Ising模型的解析接，序参量的critical exponent值不是0.5，而是0.125 。[1] 给同学们留下的作业是 1、回去动手算一下\(\tanh (Ax+b) = x\)的解。我用的是直接迭代。如果用牛顿迭代是不是收敛性更好？可否用程序证明？ 2、算一下\(T^* = 0\) 和\(T^* > 0)时候的磁滞回线，看一下与低温时候有何区别？ 资料： python环境管理包：anaconda: https://www.anaconda.com/ python的IDE：spyder 可以在anaconda中下载 有用的包： 自行搜索手册、可用anaconda安装或者用pip安装 基本数学工具和数组：numpy 科学计算、求解方程： scipy （部分替代mathematica） 数据表： pandas （可替代excel） 绘图：matplotlib （可替代origin） 参考文献 …

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时间：2021年9月7日 地点：学院路校区一号楼206 内容：理论力学第一节课，绪论与静力学基本概念 第一节课的主要目的是对理论力学这门课程，给学生一个感性的认知。 （1）王琪老师从科学哲学的角度出发，引入了力学的概念。告诉学生们学西力学有什么意义。 例子：比萨斜塔与竹子的类比，长城的建造以及赵州桥。 个人理解：长城的建造，视频中显示用树枝和粘土分层灌注，其实可以引申出复合材料的概念。为何加上树枝之后更加稳固（取向） （2）力学处理问题的一般方法：力学模型 — 仿真 — 实验 –对比 的脉络。并用车辆、行走器进行举例。 （3）学习目的 最终目的是提高学习能力。 最后一点时间讲了力的概念。力的作用是使物体产生移动、转动、变形和流动。这里就可以引出理论力学与材料力学的区别。对于理论力学来说，之研究物体的移动转动，并不考虑物体的变形与流动。 下半节 第一章内容——质点的平衡 （1）平衡的概念。首先引入力学模型，即怎么把工程问题中的实物进行力学建模。是质点、质点系，还是刚体？质点——只考虑质量，也就是说别的影响因素相比于质量来说可以忽略不计。刚体——考虑了尺寸和姿态（我理解的姿态，旋转、矩等），而质点系则考虑系统各部分之间的相互作用。理论力学可对物体进行如上所述的抽象建模。具体应该选择何种抽象，应根据所关心的问题而定。即使是同一个系统、同一个物理过程，也会因为研究问题的不同，选择不同的模型。这一点是需要着重强调的。 为了更好地理解这一点，举了乒乓球、保龄球、铅球的例子。马格纳斯效应。 我的思考：保龄球是否可以说是马格纳斯效应的结果，还是跟地面摩擦的结果？ （2）力的效应：分为内效应和外效应。内效应，内力，会引起形变，是材料力学、弹性力学考虑的问题。 （3）一连串的概念，这是理论力学后续内容的基础。 力系：{\(\mathbf{F}_1\)， \(\mathbf{F}_2\)… } 等效力系：效应相同的 力系 合力：n=1的等效力系，注意不是矢量和，要考虑矩 平衡力系：和0力系等效的力系 共点力系：力矢的延长线共点 汇交力系：力汇交 以后还会介绍：力系=共点力系+附加力矩 力的合成，基础是二里合成的平行四边形法则，或者三角形法则 第一章只涉及共点力系的合成。介绍两种方法，几何法以及投影法。投影法即解析法。在采用解析法时候，采用不同的坐标轴的选取，可以简化问题。举例。 思考：非共点力如何合成？三个力平衡的时候如何进行合成？依据是什么？ 共点力系的平衡条件：（1）封闭（2）\(F_{Ri} = 0\) 思考：空间共点力系的平衡方程的投影轴必须正交吗？ 我的思考：这个问题让学生回忆线性代数的基础知识：什么是线性相关，什么是空间基？正交基有什么好处？内积？更远一点：协变基矢量和逆变基矢量等等。 总结：两小节的内容大概相当于理论力学静力学绪论以及第一章前两节的内容 阅读数: 966