日期：2021年9月14日

地点：一号楼

这节课进入第二章——刚体的平衡。

主要概念：

力偶，力对点的矩矢、力对轴的矩。其中在课本上我们注意到力对点的 矩矢 是矢量，用粗体表示，而力对轴的矩是带有正负的标量。后面我们注意，力对轴的矩，其实是力对点的矩矢在某一个方向上的投影。

问题的引入：从直升机的螺旋桨引入矩的概念。对于质点而言，力的作用点在质点上，因此是共点力系。而对于刚体而言，由于考虑到形状，力的作用点可以在不同的位置，因此不一定是共点力系。这时候就需要引入矩（moment）这一概念。矩在物理中是一个十分重要的概念。一般来说当一个物理量的作用效果与空间位置相关，就需要一个将空间包含的的物理量表示。将物理量位置矢量与物理量的乘积（product）作为矩。

例如：电学中，将电荷（\(q\)）与电荷位置矢量（\(\mathbf{r}\)）的乘积叫做电偶极矩。对于点电荷和多个独立的点电荷组成的集合而言，电偶极矩 \( \mathbf{P} =q\mathbf{r}\)。对于一个电荷密度分布为 \(\rho(\mathbf{r})\)）而言，电偶极矩为体积分 \( \mathbf{P} =\int_v \rho(\mathbf{r}) \mathbf(r)/ d \text{v}\) ,是一个矢量。同时还存在高阶矩，如四极子（quadrapole） \( \mathbf{P} =\int_v \rho(\mathbf{r}) \otimes \mathbf(r) \mathbf(r)/ d \text{v}\) 为一个二阶张量。

力学中，位置与力的叉积也是一个矢量，被称为力矩（moment 或torque）。理论力学中，密度分布的零阶矩是质量大小，一阶矩刻画质心，二阶矩是转动惯量（moment of inertia,或者叫质量惯性矩）注意这里\(\\mathbf{r}^2\)取矢量点积。材料力学中对于某一截面可以对某一个轴取矩，叫做面积二次轴矩（second axial moment of area），又称面积惯性矩，或面积对某一轴的惯性矩。

动量对某一点取矩，叫做角动量（angular momentum）\(\mathbf{L}\times\mathbf{r}\)，这里是叉积。

随后一个重要的概念是力对点的矩矢和力对轴的矩两者之间的关系，以及和坐标投影的关系。

为研究刚体的受力特点，引入一种特殊的力系：力偶。力偶对应的矩矢与参考点、或者说说坐标的选取无关。因此力偶可以一一对应一个力偶矩矢，而且这个力偶矩矢是一个自由矢量。力偶具有的性质：

• 不能与力等效，力的矩矢与参考点相关，因此无法等效
• 力偶可以在作用面随意转移或者移到平行平面，这是利用了力偶矩矢是自由矢量的特点
• 保持力*力臂乘积不变，作用效果不变。此即表示力偶矩矢的模不变，效果不变

为了方便对作用在刚体上的力进行简化和合并，引入加减平衡原理（在原有力系基础上加上一组共轴反向力是等效力系）。最后可以推导出空间任意力系可以简化为主矢加主矩。主矢大小方向与简化中心无关，主矩大小与简化中心的选择有关。

我的思考：

（1）作用在刚体上的力，如果作用效果已知，需要几个未知量来确定这个力？或者说刚体上力的自由度是几？三维空间中的力，唯一的确定他需要6个参数：\((\mathbf{F},\mathbf{r})\)。

（2）力对轴的矩，是否可以选取与轴无关的任意坐标轴，写出解析表达式？

时间：2021年9月9日

地点：学院路校区一号楼206

内容：理论力学第二次课，主要讲述平衡问题的解法

第一部分讲约束和约束力。

什么是约束—> 引入自由体和非自由体的概念。

约束力：约束作用于非自由体的力。其他的力统称为主动力。约束力的特点是：约束力方向与限制运动的方向相反。

我的思考：约束的概念在拉格朗日力学里是核心概念。约束减少了了体系的自由度。约束可以用自由度作为变量的等式（完全约束）或者不等式（非完全）约束来表示。对于完全约束，对于求解的问题而言，可以作为拉格朗日乘子引入。

在工程中，我们会遇到各种各样的约束。这里介绍了最常见的集中约束，并介绍了他们的特点：

• 柔索：只能承受拉力，方向沿着柔索，背离物体。
• 光滑面约束：切线上自由。约束力方向在公切线
• 光滑圆柱铰链约束：有销钉。分为固定铰支座（二维1自由度）连接铰链（二维1自由度，链接两个物体），径向轴承（限制垂直于轴承的面方向的位移），活动铰链（水平无约束）。
• 光滑球铰链。我的思考：被光滑球铰连约束的物体，只能绕着一点进行三维旋转，只有两个自由度。
• 二力构件：根据二力平衡条件，二力构件收力所在直线已定

受力分析实例。举了三个例子，在课件上有。注意：

• 整体法，对整个物体进行受力分析，忽略内部相互作用
• 利用作用力-反作用力大小相等方向相反
• 合理利用几何法
• 投影法（或解析法）需要选取合适的坐标系

我的思考：最后的例子，用正余弦定理也挺方便。

Molecular dynamics simulation of crystal structure and heat capacity in perovskite-type molybdates SrMoO3 and BaMoO3

本项工作与TU Darmstadt化学系的Albert课题组合作，研究了SMO和BMO的晶格常数以及热力学参数（比热容）。

记得之前在洛桑参加ISAF的时候遇到某位做XRD的老教授，他告诉我现在专心分析某些体系的基础参数的工作越来越少。一方面是因为工作本身很trivial，另一方面是这类文章很难发在有影响力的杂志上，但是这项工作又很有用。总体来说属于吃力不讨好的事情，很少有人愿意去做。大概这项工作属于他提及的那种范畴。

这项工作的idea其实很简单。我们隔壁Alff组十几年一直在用PLD、BME生长金属氧化物薄膜。一般来说通过PLD和BME生常驻来的薄膜不会很厚。因为随着晶体的生长，不可避免地会存在缺陷，此外基体与薄膜的晶格参数也有所区别会产生misfit strain。而他们课题组的绝活是，他们长出的钼基钙钛矿金属氧化物薄膜特别厚，可以达到50微米以上（参见P. Salg et al. APL applied. 2019），但是其中的原理并没有研究的很深入。想研究清楚这些，第一步是对这些氧化物晶体的基本物理参数进行测定，首先是晶格常数。但是经过一番文献调研，我们发现，在不多的SMO和BMO晶格常数测定的文献中，不同组做的结果有所差别：

这篇文章主要研究了。。。

这篇文章主要研究了。。。

相场模型（Phase field model）主要是为了解决界面问题。思想来源最早可以追溯到Van der Waals在处理液体表面张力时候的非均匀界面假设，经过Landau&Lifshitz、Allen-Cahn、Cahn-Hillard发展，日趋完善。对于相场模型的表达式，在简单、低维、平衡的条件下，人们已经给出了解析解。但是对于复杂的边界条件以及非平衡状态下序参量的演化过程，计算量十分庞大。

随着计算机科学的不断发展，求解复杂边界条件下的相场方程成为可能。典型的例子是R. Kayabushi（1993）的晶枝生长、以及LQ Chen等的铁电畴变的算例。目前相场方法应用于众多领域，如

• 铁电
• 铁磁
• 合金
• 马氏体相变
• 多相合金
• 粉末冶金

等等。

那么，究竟什么是相场模型？对于一个界面，我们可以有两种处理方式：

对于气、液界面，Tolman [1] 和Ono Kondo [2] 证明，采用如下所示的自由能表示方式，最后得到的界面的序参量是间断变化的。

\(\psi(z) = \psi(z) [\rho(z), T]\) （1）

自由能取最低的条件为表面张力为0。

Van der Waals 提出，在界面处的自由能分布不是均匀的，而是一个跟组份比例有关的参数：

\(\Psi(z) = \psi(z) [\rho(z), T]\) – \psi(\rho^{A,B}, T) （2）

与公式（1）相比增加的一部分自由能被称为surface excess。注意这里自由能的分布是位置坐标的函数。

Landau采用相同的思想，将铁磁体自由能的分布写为局部序参量（如magnetization）梯度的函数。Cahn等将梯度引入任意非均匀系统。在此假设下，自由能密度可以写为

\(\psi(c,\nabla c) = \psi _0(c) + G|\nabla c|^{2} \) （3）

其中c为系统的序参量，\( \psi _0(c) \) 为局部自由能密度， \( |\nabla c|^{2} \)为因序参量在空间分布的不均匀所导致的自由能的增加。 公式（3）即为平衡状态对应的相场公式。

与其他处理非均匀系统的方法相比， 相场法有着以下优点:：

• 相场方法对于界面的追踪是自动的。通过将体系自由能朝着能量最小的方向演化，可以自动获得界面的变化。
• 相场方法是处理非平衡状态过程有力工具。
• 相场的相参数可以与其它外场，如温度场、电场等进行耦合。

参考文献

[1] Tolman, Richard C. “The effect of droplet size on surface tension.” The journal of chemical physics 17.3 (1949): 333-337.

[2] Ono, Syu, and Sohei Kondo. “Molecular theory of surface tension in liquids.” Structure of Liquids/Struktur der Flüssigkeiten. Springer, Berlin, Heidelberg, 1960. 134-280.

[3] Cahn, John W., and John E. Hilliard. “Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy.” The Journal of chemical physics 28.2 (1958): 258-267.